Tiling a Trapezial Polyhex with Two Pentahexes

Introduction

A polyhex is a plane figure formed by joining equal regular hexagons edge to edge. A pentahex is a polyhex with 5 cells. There are 22 pentahexes, not distinguishing reflections and rotations.

A polyhex is trapezial if its cells are those whose centers lie in or on an isosceles trapezium oriented parallel to the polyhex grid. Here I study the problem of arranging copies of two given pentahexes to form a trapezial polyhex.

A triangular polyhex is an extreme form of a trapezial polyhex. Many of the solutions below are triangular. See the bottom of the page for non-triangular variants.

Nomenclature

Table of Results

This table shows the number of tiles in the smallest known trapezial polyhexes. If you find a smaller solution or solve an unsolved pair, please write.

	A	C	D	E	F	H	I	J	K	L	N	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
A	•	42	3	2	7	—	9	11	9	6	3	6	9	20	—	—	4	—	—	9	5	9
C	42	•	5	42	—	—	—	—	—	—	9	—	—	—	—	—	—	—	—	—	6	—
D	3	5	•	3	9	14	3	5	6	3	3	3	5	3	4	13	5	3	9	3	2	12
E	2	42	3	•	5	9	4	7	9	5	6	3	9	6	60	294	7	17	9	4	5	9
F	7	—	9	5	•	—	52	—	—	—	15	—	—	—	—	—	—	—	—	—	7	—
H	—	—	14	9	—	•	39	—	—	—	8	—	—	—	—	—	—	—	—	—	9	—
I	9	—	3	4	52	39	•	14	18	3	4	7	33	18	84	—	—	49	54	—	3	9
J	11	—	5	7	—	—	14	•	20	—	3	—	—	18	—	—	—	—	—	—	3	—
K	9	—	6	9	—	—	18	20	•	19	12	6	—	—	—	—	—	—	—	—	5	—
L	6	—	3	5	—	—	3	—	19	•	4	—	—	12	—	—	—	—	—	20	5	—
N	3	9	3	6	15	8	4	3	12	4	•	3	6	10	15	6	18	12	12	6	5	7
P	6	—	3	3	—	—	7	—	6	—	3	•	—	5	—	—	—	—	—	7	3	—
Q	9	—	5	9	—	—	33	—	—	—	6	—	•	—	—	—	—	—	—	—	6	—
R	20	—	3	6	—	—	18	18	—	12	10	5	—	•	—	—	—	—	—	—	4	—
S	—	—	4	60	—	—	84	—	—	—	15	—	—	—	•	—	—	—	—	—	4	—
T	—	—	13	294	—	—	—	—	—	—	6	—	—	—	—	•	—	—	—	—	13	—
U	4	—	5	7	—	—	—	—	—	—	18	—	—	—	—	—	•	—	—	—	7	—
V	—	—	3	17	—	—	49	—	—	—	12	—	—	—	—	—	—	•	—	—	6	—
W	—	—	9	9	—	—	54	—	—	—	12	—	—	—	—	—	—	—	•	—	7	—
X	9	—	3	4	—	—	—	—	—	20	6	7	—	—	—	—	—	—	—	•	7	—
Y	5	6	2	5	7	9	3	3	5	5	5	3	6	4	4	13	7	6	7	7	•	6
Z	9	—	12	9	—	—	9	—	—	—	7	—	—	—	—	—	—	—	—	—	6	•

Navigation

[2 Tiles] [3 Tiles] [4 Tiles] [5 Tiles] [6 Tiles] [7 Tiles] [8 Tiles] [9 Tiles] [10 Tiles] [11 Tiles] [12 Tiles] [13 Tiles] [14 Tiles] [15 Tiles] [17 Tiles] [18 Tiles] [19 Tiles] [20 Tiles] [33 Tiles] [39 Tiles] [42 Tiles] [49 Tiles] [52 Tiles] [54 Tiles] [60 Tiles] [84 Tiles] [294 Tiles] [Non-Triangular Variants]

Col. George Sicherman [ HOME | MAIL ]

	A	C	D	E	F	H	I	J	K	L	N	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
A	•	42	3	2	7	—	9	11	9	6	3	6	9	20	—	—	4	—	—	9	5	9
C	42	•	5	42	—	—	—	—	—	—	9	—	—	—	—	—	—	—	—	—	6	—
D	3	5	•	3	9	14	3	5	6	3	3	3	5	3	4	13	5	3	9	3	2	12
E	2	42	3	•	5	9	4	7	9	5	6	3	9	6	60	294	7	17	9	4	5	9
F	7	—	9	5	•	—	52	—	—	—	15	—	—	—	—	—	—	—	—	—	7	—
H	—	—	14	9	—	•	39	—	—	—	8	—	—	—	—	—	—	—	—	—	9	—
I	9	—	3	4	52	39	•	14	18	3	4	7	33	18	84	—	—	49	54	—	3	9
J	11	—	5	7	—	—	14	•	20	—	3	—	—	18	—	—	—	—	—	—	3	—
K	9	—	6	9	—	—	18	20	•	19	12	6	—	—	—	—	—	—	—	—	5	—
L	6	—	3	5	—	—	3	—	19	•	4	—	—	12	—	—	—	—	—	20	5	—
N	3	9	3	6	15	8	4	3	12	4	•	3	6	10	15	6	18	12	12	6	5	7
P	6	—	3	3	—	—	7	—	6	—	3	•	—	5	—	—	—	—	—	7	3	—
Q	9	—	5	9	—	—	33	—	—	—	6	—	•	—	—	—	—	—	—	—	6	—
R	20	—	3	6	—	—	18	18	—	12	10	5	—	•	—	—	—	—	—	—	4	—
S	—	—	4	60	—	—	84	—	—	—	15	—	—	—	•	—	—	—	—	—	4	—
T	—	—	13	294	—	—	—	—	—	—	6	—	—	—	—	•	—	—	—	—	13	—
U	4	—	5	7	—	—	—	—	—	—	18	—	—	—	—	—	•	—	—	—	7	—
V	—	—	3	17	—	—	49	—	—	—	12	—	—	—	—	—	—	•	—	—	6	—
W	—	—	9	9	—	—	54	—	—	—	12	—	—	—	—	—	—	—	•	—	7	—
X	9	—	3	4	—	—	—	—	—	20	6	7	—	—	—	—	—	—	—	•	7	—
Y	5	6	2	5	7	9	3	3	5	5	5	3	6	4	4	13	7	6	7	7	•	6
Z	9	—	12	9	—	—	9	—	—	—	7	—	—	—	—	—	—	—	—	—	6	•

	A	C	D	E	F	H	I	J	K	L	N	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
A	•	42	3	2	7	—	9	11	9	6	3	6	9	20	—	—	4	—	—	9	5	9
C	42	•	5	42	—	—	—	—	—	—	9	—	—	—	—	—	—	—	—	—	6	—
D	3	5	•	3	9	14	3	5	6	3	3	3	5	3	4	13	5	3	9	3	2	12
E	2	42	3	•	5	9	4	7	9	5	6	3	9	6	60	294	7	17	9	4	5	9
F	7	—	9	5	•	—	52	—	—	—	15	—	—	—	—	—	—	—	—	—	7	—
H	—	—	14	9	—	•	39	—	—	—	8	—	—	—	—	—	—	—	—	—	9	—
I	9	—	3	4	52	39	•	14	18	3	4	7	33	18	84	—	—	49	54	—	3	9
J	11	—	5	7	—	—	14	•	20	—	3	—	—	18	—	—	—	—	—	—	3	—
K	9	—	6	9	—	—	18	20	•	19	12	6	—	—	—	—	—	—	—	—	5	—
L	6	—	3	5	—	—	3	—	19	•	4	—	—	12	—	—	—	—	—	20	5	—
N	3	9	3	6	15	8	4	3	12	4	•	3	6	10	15	6	18	12	12	6	5	7
P	6	—	3	3	—	—	7	—	6	—	3	•	—	5	—	—	—	—	—	7	3	—
Q	9	—	5	9	—	—	33	—	—	—	6	—	•	—	—	—	—	—	—	—	6	—
R	20	—	3	6	—	—	18	18	—	12	10	5	—	•	—	—	—	—	—	—	4	—
S	—	—	4	60	—	—	84	—	—	—	15	—	—	—	•	—	—	—	—	—	4	—
T	—	—	13	294	—	—	—	—	—	—	6	—	—	—	—	•	—	—	—	—	13	—
U	4	—	5	7	—	—	—	—	—	—	18	—	—	—	—	—	•	—	—	—	7	—
V	—	—	3	17	—	—	49	—	—	—	12	—	—	—	—	—	—	•	—	—	6	—
W	—	—	9	9	—	—	54	—	—	—	12	—	—	—	—	—	—	—	•	—	7	—
X	9	—	3	4	—	—	—	—	—	20	6	7	—	—	—	—	—	—	—	•	7	—
Y	5	6	2	5	7	9	3	3	5	5	5	3	6	4	4	13	7	6	7	7	•	6
Z	9	—	12	9	—	—	9	—	—	—	7	—	—	—	—	—	—	—	—	—	6	•

	A	C	D	E	F	H	I	J	K	L	N	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
A	•	42	3	2	7	—	9	11	9	6	3	6	9	20	—	—	4	—	—	9	5	9
C	42	•	5	42	—	—	—	—	—	—	9	—	—	—	—	—	—	—	—	—	6	—
D	3	5	•	3	9	14	3	5	6	3	3	3	5	3	4	13	5	3	9	3	2	12
E	2	42	3	•	5	9	4	7	9	5	6	3	9	6	60	294	7	17	9	4	5	9
F	7	—	9	5	•	—	52	—	—	—	15	—	—	—	—	—	—	—	—	—	7	—
H	—	—	14	9	—	•	39	—	—	—	8	—	—	—	—	—	—	—	—	—	9	—
I	9	—	3	4	52	39	•	14	18	3	4	7	33	18	84	—	—	49	54	—	3	9
J	11	—	5	7	—	—	14	•	20	—	3	—	—	18	—	—	—	—	—	—	3	—
K	9	—	6	9	—	—	18	20	•	19	12	6	—	—	—	—	—	—	—	—	5	—
L	6	—	3	5	—	—	3	—	19	•	4	—	—	12	—	—	—	—	—	20	5	—
N	3	9	3	6	15	8	4	3	12	4	•	3	6	10	15	6	18	12	12	6	5	7
P	6	—	3	3	—	—	7	—	6	—	3	•	—	5	—	—	—	—	—	7	3	—
Q	9	—	5	9	—	—	33	—	—	—	6	—	•	—	—	—	—	—	—	—	6	—
R	20	—	3	6	—	—	18	18	—	12	10	5	—	•	—	—	—	—	—	—	4	—
S	—	—	4	60	—	—	84	—	—	—	15	—	—	—	•	—	—	—	—	—	4	—
T	—	—	13	294	—	—	—	—	—	—	6	—	—	—	—	•	—	—	—	—	13	—
U	4	—	5	7	—	—	—	—	—	—	18	—	—	—	—	—	•	—	—	—	7	—
V	—	—	3	17	—	—	49	—	—	—	12	—	—	—	—	—	—	•	—	—	6	—
W	—	—	9	9	—	—	54	—	—	—	12	—	—	—	—	—	—	—	•	—	7	—
X	9	—	3	4	—	—	—	—	—	20	6	7	—	—	—	—	—	—	—	•	7	—
Y	5	6	2	5	7	9	3	3	5	5	5	3	6	4	4	13	7	6	7	7	•	6
Z	9	—	12	9	—	—	9	—	—	—	7	—	—	—	—	—	—	—	—	—	6	•