Tiling a Rectangle with Two Scaled Pentaboloes

Introduction

A pentabolo or pentatan is a plane figure formed by joining five equal isosceles right triangles at their legs or hypotenuses. Here are the 30 pentaboloes:

A scaled polyabolo is one that may be used at various scale factors:

Here I show how a rectangle can be tiled by a pair of scaled pentaboloes, using at least one copy of each and as few total copies as is known to be possible. If you find a solution with fewer tiles or solve an unsolved case, please write.

Andrew Bayly found new and improved solutions.

Bryce Herdt pointed out a defective rendering.

Table

The shaded index cells link to tilings by the specified scaled pentabolo alone.

  123456789101112131415161718192021222324252627282930
1• ? ? ? ? 84 ? ? 6 ? ? ? 22 ? ? ? ? ? ? ? 16 16 ? 76 ? ? ? ? 10 10
2? • ? ? ? 108 ? ? 6 ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? 16 13 ? 26 ? ? ? ? 4 6
3? ? • ? ? ? ? ? 7 ? ? ? ? 104 30 ? ? ? ? ? 32 47 ? 8 ? 24 ? ? 6 10
4? ? ? • ? 204 ? ? 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 27 ? ? 12 ? ? ? ? 4 8
5? ? ? ? • 66 ? ? 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 24 ? ? 62 ? ? 32 ? 44 ?
684 108 ? 204 66 • 80 48 4 78 6 62 78 10 28 16 32 44 28 34 24 25 36 10 76 6 20 40 4 8
7? ? ? ? ? 80 • ? 7 ? 12 ? 24 ? ? ? ? ? ? ? 53 ? ? 112 ? ? 16 ? ? ?
8? ? ? ? ? 48 ? • 4 ? 6 ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 26 ? ? 66 ? ? ? 40 8 ?
96 6 7 6 6 4 7 4 • 8 7 6 4 4 3 6 8 5 5 6 4 6 4 4 6 4 3 6 4 3
10? ? ? ? ? 78 ? ? 8 • ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 32 ? ? 94 ? ? ? ? 16 ?
11? ? ? ? ? 6 12 6 7 ? • ? 86 ? ? 6 ? ? 16 ? 10 ? ? 16 ? 16 18 ? 4 8
12? ? ? ? ? 62 ? ? 6 ? ? • ? ? ? ? ? ? ? ? 22 10 ? 26 ? ? ? ? 4 8
1322 4 ? ? ? 78 24 ? 4 ? 86 ? • ? ? 8 ? ? ? ? 10 ? ? 16 ? 4 4 ? ? ?
14? ? 104 ? ? 10 ? ? 4 ? ? ? ? • 80 8 ? ? ? ? 24 ? ? 58 ? ? 32 ? ? ?
15? ? 30 ? ? 28 ? 4 3 ? ? ? ? 80 • 12 ? ? 32 ? 21 12 12 4 ? 16 4 ? 6 8
16? ? ? ? ? 16 ? ? 6 ? 6 ? 8 8 12 • ? ? ? 32 12 ? 8 8 22 32 ? ? 5 8
17? ? ? ? ? 32 ? ? 8 ? ? ? ? ? ? ? • ? ? ? 28 ? ? 6 ? ? 20 ? 8 ?
18? ? ? ? ? 44 ? ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? • ? ? 42 8 ? 36 ? ? ? ? 8 ?
19? ? ? ? ? 28 ? ? 5 ? 16 ? ? ? 32 ? ? ? • ? 12 ? ? 66 ? ? ? 44 8 6
20? ? ? ? ? 34 ? ? 6 ? ? ? ? ? ? 32 ? ? ? • 42 ? ? 34 ? ? ? ? ? ?
2116 16 32 27 24 24 53 26 4 32 10 22 10 24 21 12 28 42 12 42 • 16 28 8 36 24 4 20 12 26
2216 13 47 ? ? 25 ? ? 6 ? ? 10 ? ? 12 ? ? 8 ? ? 16 • ? 54 ? ? 7 ? ? ?
23? ? ? ? ? 36 ? ? 4 ? ? ? ? ? 12 8 ? ? ? ? 28 ? • 48 ? ? 12 ? 8 ?
2476 26 8 12 62 10 112 66 4 94 16 26 16 58 4 8 6 36 66 34 8 54 48 • 68 42 10 22 6 62
25? ? ? ? ? 76 ? ? 6 ? ? ? ? ? ? 22 ? ? ? ? 36 ? ? 68 • ? 32 ? 50 ?
26? ? 24 ? ? 6 ? ? 4 ? 16 ? 4 ? 16 32 ? ? ? ? 24 ? ? 42 ? • 18 ? ? ?
27? ? ? ? 32 20 16 ? 3 ? 18 ? 4 32 4 ? 20 ? ? ? 4 7 12 10 32 18 • ? 7 8
28? ? ? ? ? 40 ? 40 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 44 ? 20 ? ? 22 ? ? ? • 6 ?
2910 4 6 4 44 4 ? 8 4 16 4 4 ? ? 6 5 8 8 8 ? 12 ? 8 6 50 ? 7 6 • ?
3010 6 10 8 ? 8 ? ? 3 ? 8 8 ? ? 8 8 ? ? 6 ? 26 ? ? 62 ? ? 8 ? ? •
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Last revised 2025-10-21.

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Col. George Sicherman [ HOME | MAIL ]